Error estimates for finite difference schemes associated with Hamilton-Jacobi equations on a junction

This paper is concerned with monotone (time-explicit) finite difference schemes associated with first order Hamilton-Jacobi equations posed on a junction. They extend the schemes recently introduced by Costeseque, Lebacque and Monneau (2013) to general junction conditions. On the one hand, we prove the convergence of the numerical solution towards the viscosity solution of the Hamilton-Jacobi equation as the mesh size tends to zero for general junction conditions. On the other hand, we derive optimal error estimates of order $($\Delta$x)^{\frac{1}{2}}$ in $L\_{loc}^{\infty}$ for junction conditions of optimal-control type at least if the flux is "strictly limited".Comment: 39 pages. In the initial version, the proof of the error estimate only works for Hamiltonians with the same minimum with no flux limiter. In the revised version, we can handle general quasi-convex Hamiltonians and flux limiters. We also provide numerical simulation

Quantitative regularity for parabolic De Giorgi classes

We deal with the De Giorgi Hölder regularity theory for parabolic equations with rough coefficients and parabolic De Giorgi classes which extend the notion of solution. We give a quantitative proof of the interior Hölder regularity estimate for both using De Giorgi method. Recently, the De Giorgi method initially introduced for elliptic equation has been extended to parabolic equation in a non quantitative way. Here we extend the method to the parabolic De Giorgi classes in a quantitative way. To this aim, we get a quantitative version of the non quantitative step of the method, the parabolic intermediate value lemma, one of the two main tools of the De Giorgi method sometimes called ``second lemma of De Giorgi''

Quantitative de Giorgi Methods in Kinetic Theory

We consider hypoelliptic equations of kinetic Fokker-Planck type, also known as Kolmogorov or ultraparabolic equations, with rough coefficients in the drift-diffusion operator. We give novel short quantitative proofs of the De Giorgi intermediate-value Lemma as well as weak Harnack and Harnack inequalities. This implies H{\"o}lder continuity with quantitative estimates. The paper is self-contained

Error estimates for a finite difference scheme associated with Hamilton–Jacobi equations on a junction

This paper is concerned with monotone (time-explicit) finite difference scheme associated with first order Hamilton-Jacobi equations posed on a junction. It extends the scheme introduced by Costeseque, Lebacque and Monneau (2015) to general junction conditions. On the one hand, we prove the convergence of the numerical solution towards the viscosity solution of the Hamilton-Jacobi equation as the mesh size tends to zero for general junction conditions. On the other hand, we derive some optimal error estimates of in $L^\infty_{\text{loc}}$ for junction conditions of optimal-control type.The authors acknowledge the support of Agence Nationale de la Recherche through the funding of the project HJnet ANR-12-BS01-0008-01. The second author’s PhD thesis is supported by UL-CNRS Lebanon

Équations de Hamilton-Jacobi discontinues et régularité parabolique à la De Giorgi

This thesis contains two parts. The first part is devoted to the study of first order Hamilton-Jacobi equations. These equations appear in optimal control and enable to model road traffic, superconductivity and interface motion problems. The first chapter of the thesis presents an equivalence result of state constraint boundary conditions. Three equivalent formulations of these conditions are obtained. In particular, it can be inferred that the existence and uniqueness results valid for one of the three formulations are valid for all three. The second chapter deals mainly with an equivalence result of dynamic boundary conditions; it is completed by a result of uniqueness for this problem. By considering the equivalence relation "to have the same solutions", boundary conditions (satisfied in a weak sense) can be grouped into equivalence classes. We show that in each class there is a single condition verified in a strong sense. The third chapter is devoted to the study of a monotone finite difference scheme for a Hamilton-Jacobi equation on a junction. A junction is a network formed by a single node and a finite number of infinite edges. The convergence of the scheme towards the single solution was shown by Costesèque, Lebacque, Monneau in the case of a "minimal flux-limited" type junction condition. We will present a convergence result for a general junction condition, as well as an error estimate in the case of a "fluxlimited" (not necessarily minimal) junction condition. A second part deals with Hölder regularity for a large class of parabolic equations with rough coefficients using the method introduced by De Giorgi in 1957. The fourth chapter contains a quantitative result of one main steps of De Giorgi’s method: the intermediate value lemma. This lemma quantifies (in measure) the fact that solutions of these equations cannot make a jump between two numerical values. Two quantitative versions of this lemma are presented.Cette thèse est constituée de deux parties. Une première partie est consacrée à l’étude des équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Ces équations apparaissent en contrôle optimal et permettent de modéliser des problèmes de trafic routier, de supraconductivité et de mouvements d’interface. Le premier chapitre de la thèse présente un résultat d’équivalence de conditions au bord de type contraintes d’état. On obtient l’équivalence de trois formulations de ces conditions au bord. Ceci permet notamment de déduire que les résultats d’existence et d’unicité valables pour l’une des trois formulations sont valables pour les trois. Le second chapitre porte principalement sur un résultat d’équivalence de conditions au bord de type dynamique ; il est complété par un résultat d’unicité pour ce problème. En considérant la relation «avoir les mêmes solutions», on peut regrouper les conditions aux limites (vérifiées en un sens faible) en classe d’équivalence. Nous montrons que dans chaque classe il y a une unique condition vérifiée en un sens fort. Le troisième chapitre est consacrée à l’étude d’un schéma monotone aux différences finies pour une équation de Hamilton-Jacobi posée sur une jonction. Une jonction est un réseau formé d’un seul noeud et d’un nombre fini d’arrêtes infinies. La convergence du schéma vers l’unique solution a été montrée par Costesèque, Lebacque, Monneau dans le cas d’une condition de jonction de type «flux limité minimal». Nous présenterons un résultat de convergence pour une condition de jonction générale, ainsi qu’une estimation d’erreur dans le cas d’une condition de jonction de type «flux limité» (pas forcément minimal). Une seconde partie porte sur la régularité höldérienne pour une large classe d’équations paraboliques à coefficients peu réguliers par la méthode introduite par De Giorgi en 1957. Le quatrième chapitre contient un résultat quantitatif d’une des deux grandes étapes de la méthode de De Giorgi : le lemme des valeurs intermédiaires. Ce lemme permet de quantifier (en mesure) le fait que les solutions de ces équations ne peuvent pas faire de saut entre deux valeurs numériques. Deux versions quantitatives de ce lemme sont présentées

Discontinuous Hamilton-Jacobi equations and parabolic regularity à la De Giorgi

Cette thèse est constituée de deux parties. Une première partie est consacrée à l’étude des équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Ces équations apparaissent en contrôle optimal et permettent de modéliser des problèmes de trafic routier, de supraconductivité et de mouvements d’interface. Le premier chapitre de la thèse présente un résultat d’équivalence de conditions au bord de type contraintes d’état. On obtient l’équivalence de trois formulations de ces conditions au bord. Ceci permet notamment de déduire que les résultats d’existence et d’unicité valables pour l’une des trois formulations sont valables pour les trois. Le second chapitre porte principalement sur un résultat d’équivalence de conditions au bord de type dynamique ; il est complété par un résultat d’unicité pour ce problème. En considérant la relation «avoir les mêmes solutions», on peut regrouper les conditions aux limites (vérifiées en un sens faible) en classe d’équivalence. Nous montrons que dans chaque classe il y a une unique condition vérifiée en un sens fort. Le troisième chapitre est consacrée à l’étude d’un schéma monotone aux différences finies pour une équation de Hamilton-Jacobi posée sur une jonction. Une jonction est un réseau formé d’un seul noeud et d’un nombre fini d’arrêtes infinies. La convergence du schéma vers l’unique solution a été montrée par Costesèque, Lebacque, Monneau dans le cas d’une condition de jonction de type «flux limité minimal». Nous présenterons un résultat de convergence pour une condition de jonction générale, ainsi qu’une estimation d’erreur dans le cas d’une condition de jonction de type «flux limité» (pas forcément minimal). Une seconde partie porte sur la régularité höldérienne pour une large classe d’équations paraboliques à coefficients peu réguliers par la méthode introduite par De Giorgi en 1957. Le quatrième chapitre contient un résultat quantitatif d’une des deux grandes étapes de la méthode de De Giorgi : le lemme des valeurs intermédiaires. Ce lemme permet de quantifier (en mesure) le fait que les solutions de ces équations ne peuvent pas faire de saut entre deux valeurs numériques. Deux versions quantitatives de ce lemme sont présentées.This thesis contains two parts. The first part is devoted to the study of first order Hamilton-Jacobi equations. These equations appear in optimal control and enable to model road traffic, superconductivity and interface motion problems. The first chapter of the thesis presents an equivalence result of state constraint boundary conditions. Three equivalent formulations of these conditions are obtained. In particular, it can be inferred that the existence and uniqueness results valid for one of the three formulations are valid for all three. The second chapter deals mainly with an equivalence result of dynamic boundary conditions; it is completed by a result of uniqueness for this problem. By considering the equivalence relation "to have the same solutions", boundary conditions (satisfied in a weak sense) can be grouped into equivalence classes. We show that in each class there is a single condition verified in a strong sense. The third chapter is devoted to the study of a monotone finite difference scheme for a Hamilton-Jacobi equation on a junction. A junction is a network formed by a single node and a finite number of infinite edges. The convergence of the scheme towards the single solution was shown by Costesèque, Lebacque, Monneau in the case of a "minimal flux-limited" type junction condition. We will present a convergence result for a general junction condition, as well as an error estimate in the case of a "fluxlimited" (not necessarily minimal) junction condition. A second part deals with Hölder regularity for a large class of parabolic equations with rough coefficients using the method introduced by De Giorgi in 1957. The fourth chapter contains a quantitative result of one main steps of De Giorgi’s method: the intermediate value lemma. This lemma quantifies (in measure) the fact that solutions of these equations cannot make a jump between two numerical values. Two quantitative versions of this lemma are presented

GLOBAL SMOOTH SOLUTIONS FOR TRIANGULAR REACTION-CROSS DIFFUSION SYSTEMS

For a class of reaction cross-diffusion systems of two equations with a cross-diffusion term in the first equation and with self-diffusion terms, we prove that the unique local smooth solution given by Amann theorem is actually global. This class of systems arises in Population dynamics, and extends the triangular Shigesada-Kawasaki-Teramoto system when general power-laws growth are considered in the reaction and diffusion rates

GLOBAL SMOOTH SOLUTIONS FOR TRIANGULAR REACTION-CROSS DIFFUSION SYSTEMS

For a class of reaction cross-diffusion systems of two equations with a cross-diffusion term in the first equation and with self-diffusion terms, we prove that the unique local smooth solution given by Amann theorem is actually global. This class of systems arises in Population dynamics, and extends the triangular Shigesada-Kawasaki-Teramoto system when general power-laws growth are considered in the reaction and diffusion rates